以割宽为参数计数着色与连通边集的紧界

我们研究了以图的割宽(cutwidth)和树宽(treewidth)为参数计数着色数与连通生成边集的细粒度复杂性。小树宽分解以小分子顶点分隔符分解图，而小割宽分解以小分子边分隔符分解图。令$p,q \in \mathbb{N}$且$p$为素数、$q \geq 3$。- 若$p$整除$q-1$，则存在$(q-1)^{\text{ctw}}n^{O(1)}$时间算法，用于计数割宽$\text{ctw}$的$n$顶点图模$p$的列表$q$-着色数，且假设强指数时间假设(SETH)成立时，对任意$\varepsilon>0$不存在运行时间$(q-1-\varepsilon)^{\text{ctw}} n^{O(1)}$的算法。- 若$p$不整除$q-1$，则存在（经典）$q^{\text{ctw}}n^{O(1)}$时间算法，用于计数割宽$\text{ctw}$的$n$顶点图模$p$的列表$q$-着色数，且假设SETH成立时，对任意$\varepsilon>0$不存在运行时间$(q-\varepsilon)^{\text{ctw}} n^{O(1)}$的算法。这些下界与Jansen和Nederlof [Theor. Comput. Sci.'18]已有的$2^{\text{ctw}}n^{O(1)}$时间计算图色数算法形成鲜明对比。我们的算法与下界均运用了矩阵秩方法，将问题复杂性与某“相容矩阵”的秩以非平凡方式相关联。我们将下界推广至模$p$计数连通生成边集，并给出在树宽与割宽下均具匹配运行时间的算法。