退化指数函数归一化余项中的阈值现象与界

在这项工作中，我们研究了退化指数 $\e_\lambda(u)=(1+\lambda u)^{1/\lambda}$（$\lambda>0$）的归一化余项 $T_{n,\lambda}[\e_\lambda]$。我们建立了一个积分表示，在 $\lambda=1/(n+1)$ 处的精确单调性阈值，以及原点处对数凸性局部失效的严格条件。然后我们证明了一个尖锐的渐近结果：对于递增区域 $(0,1/(n+1))$ 中的每个 $\lambda$，二阶对数导数满足 $u^2L(u)\to -\alpha<0$ 当 $u\to\infty$，表明在整个该区域中 $(0,\infty)$ 上的全局对数凸性失效。我们进一步给出了绝对单调性的一个充要条件，表明它仅在一个可数的、测度为零的参数集上成立，并且我们推导了在原点处逐点尖锐的显式双侧截断误差界。