bulk 晶体中自旋磁力矩偶极矩的热力学表述

不寻常抗磁体的发现，如 altermagnets，使人们对更高阶磁多极，特别是磁偶极矩产生了显著关注。尽管研究取得了进展，但试图理解其微观特性的尝试仍有限，这是由于位置算符在 bulk 晶体中的 unbounded 性质所致。本文通过采用一种已知的热力学方法，推导出可用于 bulk 晶体中的自旋磁偶极矩 (SMOM) 的公式。 resulting 公式具有 gauge 不变性，并满足 St\v{r}eda 公式，即 SMOM 与自旋磁电偶极-二极量 susceptibility 之间的关系。此外，我们将该公式应用于多个模型并检验 SMOM 的基本性质。例如，在 $d$-wave altermagnets 中，SMOM 的 nonrelativistic 分量（独立于自旋轨道耦合）大于由自旋轨道耦合诱导的 relativistic 分量。这类 nonrelativistic SMOMs 与特征化 $d$-wave altermagnetism 的 nonrelativistic spin splitting 具有相同的微观起源。此外，它们表现出与 $d$-wave altermagnetism [Phys. Rev. Lett. $\textbf{132}$, 176702 (2024)] 一致的 N\'{e}el 向量依赖性。