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长度为 2048 的三阶 Reed-Muller 码的重量分布

信息论 2026-07-02 v1
作者: Kirill Khoruzhii , Patrick Gelß , Sebastian Pokutta
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摘要

我们计算了长度为 2048 的三阶 Reed--Muller 码 RM(3,11) 的重量分布。重量枚举子由 f+RM(2,10) 的陪集重量枚举子组装而成，这些枚举子是针对十个变量的所有 3691560 个非零 GL(10,2)-轨道的布尔三次型代表元求值的。该计算基于一个结构定理：除了每个奇数维空间中的单个轨道外，非退化布尔三次型都存在非退化超平面限制。相同的遍历过程确定了每个三次型的二阶非线性：RM(2,10) 在 RM(3,10) 中的相对覆盖半径为 408，在 179 个轨道上达到。这将 RM(2,10) 覆盖半径的已知最佳下界从 400 提高到了 408。补充的启发式搜索表明，RM(6,10) 在 RM(7,10) 中的相对覆盖半径至多为 32，改进了先前 50 的界限。

关键词

Reed-Muller 码 重量分布 重量枚举子 覆盖半径 布尔三次型

引用

@article{arxiv.2607.02365,
  title  = {The Weight Distribution of the Third-Order Reed-Muller Code of Length 2048},
  author = {Kirill Khoruzhii and Patrick Gelß and Sebastian Pokutta},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2607.02365},
  year   = {2026}
}