通过Radon定理研究部分概念类的VC维数

继 Alon、Hanneke、Holzman 和 Moran（FOCS 2021）之后，我们将部分概念类（PCC）定义为一族部分函数 $f: V\to\{0,1,\ast\}$；等价地，其概念将基础集划分为黑色（$f^{-1}(1)$）、灰色（$f^{-1}(\ast)$）和白色（$f^{-1}(0)$）部分。其 VC 维数通过不取 $\ast$ 值的集合的破碎来定义。我们研究了实巴拿赫空间中的两个几何 PCC，两者都具有余量 $\delta>0$：扩展半空间，其中灰色部分是紧邻半空间的宽度至少为 $\delta$ 的条带；以及扩展球，其中灰色部分是围绕单位半径球的宽度为 $\delta$ 的环带。我们的主要结果是 $L_p\parenth{\mu}$（$1\le p<\infty$）中扩展球 PCC 的 VC 维数的无维数上界，包括非欧几里得且在算法上特别相关的 $\ell^d_1$ 情况。这些界取决于余量和半径，但不取决于环境维度或底层测度空间。这些是 Bourneuf、Charbit 和 Thomass\'e（FOCS 2025）工作的扩展，他们研究了欧几里得空间（即 $\ell_2^d$）中扩展球的 PCC。我们还证明了 VC 维数的下界，这些下界在余量参数 $\delta$ 方面与上界匹配。最后，我们在 $L_p$-空间中推导了一个稠密邻域引理，再次扩展了已知的欧几里得结果。我们的方法依赖于通过映射到具有非平凡 Rademacher 类型的空间来线性化距离，然后使用平衡符号和估计或无维数 Radon 定理。这些论证依赖于泛函分析中的思想，并为该领域的非专家进行了清晰解释。