垂足规则在古代与现代光学中无理的有效性

光学中的“垂足规则”断言，由表面反射或折射形成的物点像，位于从物点到表面或穿过表面的垂线（“垂足”）上。该规则已知最早的陈述归功于 Euclid，适用于平面或球面镜。Ptolemy 将该规则推广至折射。……直到 2018 年 Goulding 揭示了 Benedetti 的优先权之前，Kepler 一直被普遍认为是对垂足规则的首次证伪与挽救。尽管有 Kepler 的工作，Tacquet 针对平面和球面镜重新确认了该规则，除非光线汇聚于眼睛后方的一点；这被称为“Barrovian 案例”，因为它困扰了 Barrow，尽管他具有现代的图像概念。Barrow 在旁轴极限之外推翻了针对子午像的垂足规则，而 Newton 挽救了弧矢像的该规则。随后该规则似乎从历史上消失了。但该规则等价于假设像是无像差的且垂足是明确定义的。这一狭窄假设在透镜与反射镜的一阶（旁轴，“Gaussian”）分析中近似成立；确实可以在该主题的现代论述中辨识出这一古代规则的未明言应用。此外，该规则对弧矢像的有效性填补了球面子午光线追迹中的一个关键空白：通过追踪来自轴外物点的主光线，然后将垂足规则应用于相继的表面，可以在主光线上（必要时通过表面线性延伸）定位相继的弧矢像点，从而在不追踪子午面外任何光线的情况下评估首阶像散。