万有零和不变式与无限阿贝尔群上的加权零和问题 II

设 $G$ 为一个阿贝尔群，$\mathcal F (G)$ 为以 $G$ 为基的自由交换幺半群，$\mathcal A (G)$ 为 $G$ 上所有极小零和子序列构成的集合。对于任意子集 $\Omega \subset \mathcal F (G)$，我们定义万有零和不变式 ${\mathsf d}_{\Omega}(G)$ 为最小的正整数 $\ell$，使得 $G$ 上任意长度为 $\ell$ 的序列 $T$ 都包含一个属于 $\Omega$ 的子序列。经典的 Davenport 常数 ${\rm D}(G)$ 可以写成 ${\mathsf d}_{\mathcal A (G)}(G)$。我们给出了所有使得 $\mathcal A(G)$ 是表示 Davenport 常数的极小集合的有限阿贝尔群的完整分类。我们还研究了阿贝尔群（可能是无限的）上的加权 Davenport 常数。设 $F$ 和 $G$ 为阿贝尔群，$\Psi \subseteq \mathrm{Hom}(F,G)$ 为一个权重集合。我们通过由 $\Psi^n$ 中的元组诱导的同态核来覆盖笛卡尔幂 $F^n$ 的角度，重新解释了加权 Davenport 常数 $D_{\Psi}(G)$；这些同态与阿贝尔群范畴中的余积自然相关。这引出了核覆盖紧致性的概念，该性质刻画了此类核覆盖何时允许有限子覆盖。我们在加权零和不变式与核覆盖结构之间建立了对应关系，其中界 $D_{\Psi}(G)\le n$ 等价于 $F^n$ 上的一个典范核覆盖性质。我们进一步研究了无限权重集合的有限约化现象，并给出了确保一致核覆盖紧致性的充分条件。本工作是 [G. Wang, Comm. Algebra, 2025] 的后续研究。