无限 Sidon 集的厚度

设 $\gamma \ge 1$。非负整数集合 $A$ 是 Sidon 集，如果对于每个 $d>0$，在 $A \times A$ 中至多有一对 $(a,b)$ 满足 $d=a-b$。如果至多有 $\gamma$ 对，则 $A$ 是 $\gamma$-Golomb 尺。我们证明，如果 $A$ 是 $\gamma$-Golomb 尺，则 $$\liminf_{n\to\infty} \frac{|A\cap[0,n)|}{\sqrt{n/\log n}} \le \frac{2}{\sqrt{\log 2}} \sqrt{\gamma}.$$ 存在一个 $\gamma$-Golomb 尺 $G$ 使得 $$\limsup_{n\to\infty} \frac{|G\cap[0,n)|}{\sqrt n} \ge \frac{1}{\sqrt2} \sqrt{\gamma}.$$