生成平方数的尖锐阈值

考虑一个随机整数序列，每个从 $\{1,\dots,x\}$ 均匀独立选取。受Dixon算法、二次筛和数域筛等分解算法应用驱动，Pomerance在1994年提出以下问题： $N$ 应多大才能使得该序列以高概率包含一个子序列，其元素乘积为完全平方数？Pomerance渐近确定了该事件阈值的对数，并猜想它在 $N$ 中表现出尖锐阈值。最近，Croot、Granville、Pemantle和Tetali将阈值确定至因子 $4/\pi + o(1)$ （ $x \to \infty$ ），并关于尖锐阈值位置作出猜想。本文我们证明这两个猜想，通过确定生成平方数的尖锐阈值。我们的证明结合组合、概率和解析数论技术；特别地，我们使用所谓自校正鞅方法以控制编码我们随机数素因子的随机超图2-核的大小。我们的方法也给出Croot、Granville、Pemantle和Tetali主定理上界的新（且完全不同）证明。