$\nabla m_μ$的Schur正性

Bergeron, Garsia, Haiman和Tesler在1999年猜想，对于所有划分$\mu,\lambda\vdash n$，多项式$(-1)^{|\mu|-\ell(\mu)}\langle \nabla m_\mu, s_\lambda\rangle$具有非负整数系数，其中$\nabla$是Bergeron--Garsia nabla算子，它在修正的Macdonald基上对角作用，$m_\mu$是单项对称函数。在本文中，我们证明了这个猜想，并且更一般地证明了对于所有$r\geq 1$，$(-1)^{|\mu|-\ell(\mu)}\langle\nabla^r m_\mu,s_\lambda\rangle\in\mathbb{N}[q,t]$。我们建立了一个递推关系，表明$(-1)^{|\mu|-\ell(\mu)}m_\mu$在对称函数$C_\alpha(1)$中具有系数在$\mathbb{Q}_{\geq 0}[q]$中的展开式，其中$C_a$表示由Haglund, Morse和Zabrocki引入的算子。将此展开式与Carlsson--Mellit和Mellit的复合洗牌定理以及LLT多项式的Schur正性相结合，完成了证明。同样的方法，利用列LLT多项式在代换$q\mapsto q+1$后的$e$-正性，也给出了一个$e$-正性的类似结果。