平滑提升的样本复杂度与硬核定理的紧致性

平滑提升器生成的分布不会对任何给定样本施加过多权重。平滑提升器最初因其抗噪特性而被引入，如今已在差分隐私、可复现性和量子学习理论中找到应用。我们研究并解决了平滑提升的样本复杂度：我们构造了一个类别，该类别可以通过 $m$ 个样本在平滑分布上以 $\gamma$-优势被弱学习，而在均匀分布上的强学习则需要 $\tilde{\Omega}(1/\gamma^2)\cdot m$ 个样本。这与现有平滑提升器的开销相匹配，并首次实现了与分布无关提升设置的分离，后者的相应开销为 $O(1/\gamma)$。我们的工作也为复杂性理论中的 Impagliazzo 硬核定理提供了新的视角，该定理的所有已知证明都可以在平滑提升的框架下表述。对于针对规模为 $s$ 的电路具有轻度难度的函数 $f$，硬核定理提供了一个输入集合，在该集合上 $f$ 针对规模为 $s'$ 的电路具有极高难度。这一重要结果的缺陷在于电路规模的损失，即 $s' \ll s$。回答 Trevisan 的一个问题，我们证明了这种规模损失是必要的，事实上，已知证明所达到的参数已经是最优的。