关于1-交叉曲线间切点的个数

根据Pach的猜想，在每个偶对曲线恰好有一个公共点且没有三个曲线共享公共点的Jordan弧族中，切配对数为 $O(n)$。这个猜想已在两个特殊情况下得到证实，但对于一般情况，目前最好的上界仅为 $O(n^{7/4})$。这也是已知的关于切配数的最佳上界，而这种情况是放宽后的情况，即每个偶对曲线最多有一个公共点。我们改进了后者和前者情况的上界，分别为 $O(n^{5/3})$ 和 $O(n^{3/2})$。我们还考虑了这些问题的其他几个变体，例如，如果曲线是 $x$-单调的，每对曲线最多相交一次且其左端点位于同一垂直线上，则最大切配数为 $\Theta(n^{4/3})$。在没有此最后一个条件的情况下，切配数为 $O(n^{4/3}(\log n)^{1/3})$，改进了Pach和Sharir的先前上界。在此过程中，我们证明了一个图论定理，扩展了Erd\H{o}s和Simonovits的结果，可能独有兴趣。