两个流体动力学耦合游动细胞的长时间动力学

游泳微生物，如细菌或精子，通常存在于密集悬浮液中，并表现出与单个细胞截然不同的集体运动模式。在可以严格处理流体介导相互作用的稀薄极限下，细胞集合的长时间流体动力学源于与许多其他细胞的相互作用，因此通常难以通过解析方法处理。这里我们考虑唯一可以严格解析处理这种情况的情形，即细胞具有空间受限轨迹，例如某些海洋无脊椎动物的精子。我们考虑两个球形细胞在孤立时沿任意圆形轨迹游动，并推导了它们相对运动的长时间运动学。我们证明，在细胞间距远大于其尺寸及其圆形运动尺寸的稀薄极限下，会出现一个时间尺度分离：一个是快速（固有）游动时间，另一个是慢速时间，在此时间尺度上流体动力学相互作用导致游泳者相对位置和方向的变化。我们进行了多尺度分析，并推导了描述这对细胞长时间行为的有效动力系统（二维）。我们证明该系统表现出一种平衡点和两种旋转平衡点，所有这些平衡点都是不稳定的。对动力系统的详细数学分析进一步使我们能够证明，在 $t\to\infty$ 的极限下，只可能有两种细胞间行为：细胞相互吸引（可能是单调的），或者相互排斥（也可能是单调的），我们通过数值计算证实了这一点。