用于格算子机器学习的格过参数化范式

格算子的机器学习存在三个可能的瓶颈。从统计角度看，有必要基于先验信息设计一类受约束的、低偏差且相对于样本量低复杂度的算子。从计算角度看，应存在一种高效算法在该类上最小化经验误差。从理解角度看，需要推导所学算子的性质，从而能在理论上理解其行为。统计瓶颈可借助关于格算子表示的丰富文献得以克服，但迄今尚无针对它们的通用学习算法。本文讨论一种学习范式：通过用格中元素对一类算子进行过参数化，将格上函数最小化的算法应用于学习。我们提出随机格下降算法作为一种通用算法，只要固定了该类的格过参数化，便可在受约束算子类上学习，并讨论了此前作为概念验证的工作。此外，若存在从过参数化计算算子基的算法，则可推导其性质，理解瓶颈亦得以克服。该学习范式具备基于神经网络的现代方法所缺乏的三种性质：可控性、透明性与可解释性。如今，对具有这些特性的方法需求日益增长，我们认为数学形态学处于提供它们的独特位置。格过参数化范式或将成为其在现代机器学习中发挥全部潜力所缺失的一块拼图。