半直积与拟哈密顿群中的隐子群问题

若干早期量子算法，包括 Simon 算法和 Shor 周期求解算法，都是有限阿贝尔群上隐子群问题（HSP）的实例。目前对于任意非阿贝尔有限群上的 HSP，尚无已知的多项式时间量子算法。非阿贝尔情形尤其引人关注，因为某些实例（如二面体群和对称群 HSP）分别与格问题和图同构相关。在本工作中，我们给出了针对包含非阿贝尔群的两个进一步族的多项式时间量子算法。首先，我们考虑形如 $G=A\rtimes_{\varphi} \mathbb{Z}_{p^k}$ 的群，其中 $A$ 为有限阿贝尔群，$p$ 为素数，$k\in \mathbb{N}$，且 $\mathbb Z_{p^k}$ 的作用由标量自同构 $a\mapsto\mu a$ 生成（对于某个 $\mu\in\mathbb Z_{\operatorname{Exp}(A)}^\times$），其中 $\mathrm{Exp}(A)$ 是 $A$ 的指数。当 $A$ 具有有界生成元秩且 $\mathrm{Exp}(A)/p=\mathrm{polylog}(|G|)$ 时，我们的算法是高效的。这包括 Bacon、Childs 和 van Dam (FOCS 2005) 研究的 $A=\mathbb{Z}_N$（$N\in\mathbb{N}$ 且 $k=1$）的情形，以及 van Dam 和 Dey (TQC 2014) 研究的 $A=\mathbb{Z}_{q^r}$（$q$ 为素数且 $r\in \mathbb{N}$）的情形。其次，我们在对输入结构有温和假设的情况下，给出了有限拟哈密顿群的多项式时间量子算法。拟哈密顿群是具有模子群格的有限幂零群，或等价地，其中每个子群均可置换的有限群。据我们所知，这是第一个利用子群格的模性来求解 HSP 的量子算法。在上述结构化输入假设下，这扩展了 Hallgren、Russell 和 Ta-Shma (SIAM J. Comput. 32, 2003) 给出的 Dedekind 群量子算法。