绝对可分性与其他凸矩阵性质的谱几何

我们研究了二分绝对可分态 ($\mathrm{ASEP}_{m,n}$) 和绝对正部分转置态 ($\mathrm{APPT}_{m,n}$) 的谱集的几何结构，即在所有全局酉变换下分别保持可分性或 PPT 性的二分量子态。首先，我们建立了绝对凸矩阵集、其谱和极值点的一般几何性质。关于绝对可分性，我们提出了绝对 PPT 判据的置换对称重述，并用它来证明对于所有 $m\leq n$，$\mathrm{APPT}_{m,n}$ 是一个谱面体：特别是，它的所有面都是暴露的。相比之下，虽然 $\mathrm{ASEP}_{2,n}$ 也是一个谱面体，但我们证明了一般情况下对于所有 $m\leq n$，$\mathrm{ASEP}_{m,n}$ 是一个半代数集。此外，我们提供了 $\mathrm{APPT}_{m,n}$ 的面和极值点的完整刻画，并证明了一个面的维度由某个矩阵的秩决定，最大真面的维度为 $(mn-m-1)$。在定量设置中，我们通过内接多胞体 $\mathcal{P}_{m,n}$ 为 $\mathrm{APPT}_{m,n}$ 的最大可达纯度提供了一个严格下界，并推测除了 $m=n=2$ 的情况外，$\mathrm{APPT}_{m,n}$ 的最大纯度（连同其谱）在任意维度下都与该多胞体一致。此外，我们还为 $\mathrm{APPT}_{m,n}$ 的最小 von Neumann 熵提供了一个严格上界，并通过数值证明，随着局域系统维度 $n$ 的增加，最小熵最终与多胞体 $\mathcal{P}_{m,n}$ 一致。最后，我们证明了 $\mathrm{APPT}_{m,n}$ 的相对谱体积在 $n$ 中呈指数衰减，其衰减因子为内接多胞体 $\mathcal{P}_{m,n}$ 相对体积的常数倍。