框架化 Beltrami-Vekua 范式及其伪解析质量

我们通过逐点代数将一个一阶实平面椭圆型方程组规范化为框架化 Beltrami-Vekua 方程 $\Phi(w_{\bar z} - \mu w_z) + \Psi(\overline{w_z} - \mu\,\overline{w_{\bar z}}) + \mathfrak{a} w + \mathfrak{b} \bar w = \mathfrak{f}$,其中 $|\mu| < 1$ 且 $|\Phi| > |\Psi|$,并计算其数据在未知量重组 $w \mapsto \varphi w + \psi \bar w$ 以及保向 $C^1$ 变量替换下的封闭变换律。2-形式 $\Theta = \frac{\bigl|\,\Phi\,\mathfrak{b} - \Psi\,\mathfrak{a} - (\Phi\, L\Psi - \Psi\, L\Phi)\,\bigr|^2}{\bigl(|\Phi|^2 - |\Psi|^2\bigr)^2\,\bigl(1 - |\mu|^2\bigr)}\; dx\, dy$(其中 $L = \bar\partial - \mu\,\partial$)在重组下不变,在变量替换下协变。因此总质量 $\mathcal{M} = \int_\Omega \Theta$ 是该等价类的一个不变量。通过一次重组和一次缩放,任何框架化方程都可以封闭形式映射到平凡框架切片——即同一 $\mu$ 上的 Beltrami-Vekua 方程——从而将 $\Theta$ 识别为未框架化方程的伪解析质量密度。我们随后证明这一切在可测正则性下依然成立:只需 $\mu$ 可测且局部椭圆,框架属于 $W^{1,2}_{\mathrm{loc}} \cap L^\infty_{\mathrm{loc}}$,此时变量替换为拟共形同胚。在该类中,每个满足 $\|\mu\|_\infty < 1$ 的方程都拟共形等价于一个 $\mu = 0$ 的方程,且质量相等。