具有最大基数的对角量子拉丁方的存在性

阶数为 $n$ 的量子拉丁方,记为 $\operatorname{QLS}(n)$,是一个 $n \times n$ 方阵,其元素为 $n$ 维 Hilbert 空间 $\mathcal{H}_n$ 中的单位列向量,使得每一行和每一列均构成 $\mathcal{H}_n$ 的正交基。QLS($n$) 的基数是指该阵列中不计全局相位的不同向量的个数。主对角线和副对角线均构成 $\mathcal{H}_n$ 正交基的 $\mathrm{QLS}(n)$ 称为对角量子拉丁方 ($\mathrm{DQLS}(n)$)。本文关注具有最大基数的 $\mathrm{DQLS}(n)$ ($\mathrm{MCDQLS}(n)$) 的存在性。通过采用基于行量子拉丁矩形与特殊完全映射的直接构造,以及奇异直积构造等递归技术,我们几乎完全确定了 $\mathrm{MCDQLS}(n)$ 的存在性,仅剩少数例外情形。该结果基于对具有最大基数的幂等 $\mathrm{QLS}(n)$ ($\mathrm{MCQLS}(n)$) 存在性的研究,并蕴含了具有最大基数的泛对角量子拉丁方 ($\mathrm{MCPQLS}(n)$) 的存在性结果。