关于椭圆函数相关函数的凸性与凹性

我们研究了函数 $f_a(x)=\frac{{\cal K{(\sqrt x})}}{a-(1/2)\log(1-x)}$ 在区间 $(0,1)$ 上的凸性。我们证明，当且仅当 $a\geq a_c$ 时，$f_a$ 在 $(0,1)$ 上严格凸；当且仅当 $a\leq\log 4$ 时，$1/f_a$ 在 $(0,1)$ 上严格凸，其中 $a_c$ 为某个临界值。论文的第二个主要结果是研究函数 $h_p(x)=(1-x)^p{\cal K}(\sqrt x)$ 的对数凸性和对数凹性。我们证明，当且仅当 $p\geq 7/32$ 时，$h_p$ 在 $(0,1)$ 上严格对数凹；当且仅当 $p\leq 0$ 时，$h_p$ 在 $(0,1)$ 上严格对数凸。这解决了由 Yang 和 Tian 提出的一些问题，完整地补充了他们的结果以及 Alzer 和 Richards 的结果，即 $f_a$ 在 $(0,1)$ 上严格凹当且仅当 $a=4/3$，且 $1/f_a$ 在 $(0,1)$ 上严格凹当且仅当 $a\geq 8/5$。作为凸性和凹性的应用，我们在此等式中建立了其他不等式：对于 $a\geq a_c$ 和所有 $r\in(0,1)$，\n\frac{2\pi\sqrt\pi}{(2a+\log 2)\Gamma(3/4)^2}\leq \frac{{\cal K(\sqrt r})}{a-\frac12\log (r)}+\frac{{\cal K(\sqrt{1-r})}{a-\frac12\log (1-r)}<1+\frac\pi{2a}, 并且对于 $p\geq 3(2+\sqrt 2)/8$ 和所有 $r\in(0,1)$，\n\sqrt{(r-r^2)^p{\cal K(\sqrt{1-r}){\cal K(\sqrt r)}}< \frac{\pi\sqrt\pi}{2^{p+1}\Gamma(3/4)^2}<\frac{r^p{\cal K(\sqrt{1-r})+(1-r)^p{\cal K(\sqrt r)}}{2}.