近似最粗层求解对多重网格 V 循环方法收敛性的影响

多重网格 V 循环方法是求解线性方程组的一种流行方法。它通过在细层上进行光滑并在最粗层上求解线性方程组来计算近似解。最粗层上的求解取决于问题的规模和难度。如果规模允许,通常使用基于 LU 或 Cholesky 分解的直接法。在具有大规模最粗层问题的情形下,常使用迭代 Krylov 子空间方法或基于低秩近似的直接法等近似求解器。最粗层求解器的精度通常根据用户对所具体问题及方法的经验来确定。在本文中,我们提出了一种分析近似最粗层求解对对称正定问题 V 循环方法收敛性影响的方法。利用这些结果,我们推导了最粗层停止准则,通过它我们可以控制由带近似最粗层求解器的 V 循环方法计算的近似与在最粗层问题被精确求解时本应计算的近似之间的差异。因此,可将该最粗层停止准则设置为使得 V 循环方法以(几乎)与带精确最粗层求解器的 V 循环方法相同的 V 循环迭代次数收敛到所选的细层精度。我们还利用理论结果讨论了基于相对残差范数的最粗层停止准则中容差的选择会如何影响 V 循环方法的收敛性。