无界 Lipschitz 域上带点相互作用的 Dirichlet Laplacian

我们研究了二维和三维无界域上 Dirichlet Laplacian 的单中心点相互作用，重点研究了外部域和特殊 Lipschitz 域。这些算子是在相互作用中心消失的函数上限制的 Dirichlet Laplacian 的自伴扩张构造的奇异扰动，其预解式由具有单个扩张参数 $\alpha$ 的显式 Kre\u{\i}n 公式给出。负谱完全由一个标量方程刻画，区分束缚与非束缚的临界耦合 $\alpha$ 是 Kre\u{\i}n 公式中出现的 Weyl 函数的阈值极限。我们建立了 Weyl 函数、临界耦合以及存在时的唯一负特征值的域单调性，并在一致 $C^{1,1}$ 几何中推导了临界耦合的尖锐近边界渐近。这些估计意味着，对于每个固定的耦合，当相互作用中心接近 Dirichlet 边界时，非正谱消失。我们还证明了外部域情形和特殊 Lipschitz 域类中点相互作用的极限吸收原理和纯绝对连续正谱。我们还深入分析了几个阈值现象。我们表明临界耦合由零能量 Green 函数的远场行为控制：外部域给出阈值共振，包含在三维半空间中的域给出阈值特征值，半平面给出 $p$-波共振，平面楔形表现出依赖于孔径的阈值态类型。最后，在模型情形下计算了低能预解式展开，并研究了阈值处特征值的持续或消失。本文似乎是该主题的第一篇系统性工作。