单位球中锥度量 Moser-Trudinger 泛函的紧致性

设 $\mathbb{B}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的单位球，$W_0^{1,2} \left( \mathbb{B} \right)$ 是标准 Sobolev 空间。假设函数 $h_{\epsilon}(x)$ 在 $\overline{\mathbb{B}}$ 上是径向对称、非负、连续的，并且满足 $\underset{x \rightarrow 0}{\lim} h_{\epsilon}(x) |x|^{- 2 \epsilon} =1$，且 $h_{\epsilon} (x) >0$ 在 $\overline{\mathbb{B}} \setminus \{0\}$ 上成立。在 \citep{26} 中，Zhang 证明了以下不等式中的上确界可以由某个函数 $u_{\epsilon}$ 取得，即，\begin{align} \int_{ \mathbb{B} } h_{\epsilon} (x) e^{ 4 \pi \left(1 + \epsilon \right) {u_{\epsilon}}^2 } dx = \underset{u \in W_0^{1,2} \left( \mathbb{B} \right) \cap \mathcal{S} \setminus \{0\} , ~ \int_{ \mathbb{B} } |\nabla u|^2 dx \leq 1}{\sup} \int_{\mathbb{B}} h_{\epsilon} (x) e^{4 \pi (1 + \epsilon) u^2 } dx, \label{eq: 0.1} \end{align} 其中 $4 \pi$ 是经典 Moser-Trudinger 不等式中的最佳常数，$\mathcal{S}$ 是径向对称函数集。在本文中，我们考虑序列 $\{ u_{\epsilon} \}_{\epsilon}$ 的紧致性，并证明该序列的极限是一个函数 $u_0 \in C^1 (\overline{ \mathbb{B}} )$。此外，$u_0$ 是以下上确界的极值函数 \begin{align*} \underset{u \in W_0^{1,2} \left( \mathbb{B} \right) \cap \mathcal{S} \setminus \{0\} , ~ \int_{ \mathbb{B} } |\nabla u|^2 dx \leq 1}{\sup} \int_{\mathbb{B}} e^{4 \pi u^2 } dx. \end{align*}