The Born Representation Theorem and the Unistochastic Theorem

本文给出关于随机矩阵的两个新定理的简洁、构造性证明。第一个定理，即Born Representation Theorem，表明任意随机矩阵的每个条目可以表示为两个矩阵的乘积的迹，其中第一个因子属于正算子值测度(POVM)，第二个因子属于投影值测度(PVM)。作为其名称所示，该定理表明任意随机矩阵的条目可以用量子理论Born规则的广义形式表示。其推论是，如果该定理中的POVM是PVM，则随机矩阵是无界的，即其条目是相同大小酉矩阵对应项的模平方。第二个定理，即Unistochastic Theorem，表明通过将底层向量空间扩大必要维度的有界数量，可以将任意随机矩阵的每个条目表示为两个因子都属于PVM的乘积的迹，从而可以通过从更大的无界矩阵进行边缘化推导出来。第二个定理因此建立了无界矩阵的某种优先性，并暗示了与量子理论中酉时间演化的紧密联系。本文还简要讨论了该理论在离散时间确定性过程和马尔可夫链上的潜在应用。