近凸调和映射的Bohr现象

经典Bohr不等式指出，如果$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$在单位圆盘$\mathbb{D}$中解析且$|f(z)|<1$，则对于$|z|=r \le 1/3$，$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| r^n \le 1$，其中$1/3$是最优的。将此扩展到调和映射$f=h+\overline{g}$是几何函数论中的核心问题，因为共解析部分$g$的存在。本文为两类保向近凸调和映射建立了尖锐的Bohr型不等式。设$\mathcal{H}_0$为$\mathbb{D}$中满足$h(0)=g(0)=h'(0)-1=g'(0)=0$归一化条件的调和映射$f=h+\overline{g}$的类。我们引入：$$\mathcal{P}_{\mathcal{H}_0}(M) := \{ f \in \mathcal{H}_0 : \text{Re}(zh''(z)) > -M + |zg''(z)|, \; z \in \mathbb{D}, \; M > 0 \}$$ $$\mathcal{W}_{\mathcal{H}_0}(\alpha,\beta) := \{ f \in \mathcal{H}_0 : \text{Re}(h'(z) + \alpha zh''(z) - \beta) > |g'(z) + \alpha zg''(z)|, \; z \in \mathbb{D} \}$$ 其中$\alpha \ge 0$，$\beta < 1$。我们通过用非负连续函数$\{\varphi_n(r)\}$替换基$\{r^n\}$来证明广义Bohr不等式。结果使用尖锐系数界和增长定理证明，为调和映射以及由微分不等式定义的子类的Bohr现象提供了新的见解。