光纤的渐近容量

本文表明，当输入功率趋于无穷时，信号能量是光纤传输唯一可用的自由度（DOF）。在输入端有 $n$ 个信号自由度的情况下，有 $n-1$ 个自由度会因信号-噪声相互作用而渐近丧失。主要观察是，非线性会在信道中引入乘性噪声，类似于无线信道中的衰落。信道在球坐标系下审视，其中信号向量 $\underline{X}\in\mathbb{C}^n$ 由其范数 $|\underline{X}|$ 和方向 $\underline{\hat{X}}$ 表示。乘性噪声导致信号方向 $\underline{\hat{X}}$ 在 $\mathbb{C}^{n}$ 中单位 $(2n-1)$-球面上随机变化，其方式使得 $\underline{\hat{X}}$ 支撑集的有效面积在 $|\underline{X}|\rightarrow\infty$ 时不会消失。另一方面，球面的表面积是有限的，因此 $\underline{\hat{X}}$ 携带有限信息。这一观察用于证明若干结果。首先，令 $\mathcal C(\mathcal P)$ 为具有分布噪声和频率相关损耗的光纤离散时间周期模型的容量，作为平均输入功率 $\mathcal P$ 的函数。本文证明，当 $\mathcal P\rightarrow\infty$ 时，渐近有 $\mathcal C=\frac{1}{n}\log\bigl(\log\mathcal P\bigr)+c$，其中 $n$ 是输入信号空间的维数，$c$ 是一个有界数。特别地，在有限维周期模型中，$\lim_{\mathcal P\rightarrow\infty}\mathcal C(\mathcal P)=\infty$。其次，本文证明在 $n=\infty$ 的无限维模型中，容量饱和为一个常数。