Tamagawa 比率与无界 Selmer 矩

我们开发了一个框架来预测一族 Selmer 群的平均大小是有界还是无界的。将该框架应用于 $\mathbb{Q}$ 上阿贝尔簇的某些几何族，我们给出了一个猜想性的刻画，说明哪些这样的族对于给定的素数 $\ell$ 具有无界平均大小的 $\ell$-Selmer 群。在 $\ell$-挠 Galois 模在族中恒定的情况下，我们证明了我们的刻画是正确的。我们技术的关键工具是 Greenberg--Wiles 公式，该公式将 Selmer 群与其对偶 Selmer 群的大小之比表示为局部因子的乘积。这个公式给出了 Selmer 群大小的一个纯局部下界，我们猜想这个下界在大多数时候是接近精确的。