随机流网络的合成

随机流网络是一个具有入边（输入）和出边（输出）的有向图，令牌从输入边进入，在网络中随机游走，并可以从输出边离开网络。网络中的每个节点都是一个分配器，即令牌可以从入边进入节点，并根据预定义的概率分布从某一条出边离开。随机流网络可以很容易地通过基于 DNA 的化学反应来实现，在分子计算和随机计算中具有广阔的应用前景。在本文中，我们研究了一个基本的合成问题：给定一组有限的可用分配器和一个任意有理概率分布，设计一个随机流网络，使得每个从输入边进入的令牌都能以指定的概率分布从输出边离开。概率变换问题可以追溯到 von Neumann 1951 年的工作，随后 Knuth 和 Yao 等人于 1976 年进行了后续研究。现有的大多数工作都集中在目标分布的“模拟”上。在本文中，我们设计了最优规模的随机流网络来“合成”目标分布。结果表明，当每个分配器有两条出边且无偏时，任意满足 $a\leq b\leq 2^n$ 的有理概率 $\frac{a}{b}$ 都可以通过规模为 $n$ 的随机流网络实现，且该规模是最优的。与其他随机系统相比，反馈（网络中的环）极大地提升了随机流网络的表达能力。