大矩阵的 SVD 更新方法及应用

我们考虑在增广一个“高瘦”矩阵（即矩形矩阵 $A \in \RR^{m \times n}$，其中 $m \gg n$）时更新 SVD 的问题。假设 $A$ 的 SVD 已知，给定矩阵 $B \in \RR^{m \times n'}$，我们推导出一种高效方法来计算并高效存储增广矩阵 $[ A B ] \in \RR^{m \times (n+n')}$ 的 SVD。这是两类应用的重要工具：在主成分分析背景下，该分解提供的主导左奇异向量构成了给定维度最佳线性子空间的正交基，而从右奇异向量可提取矩阵核空间的正交基。我们还描述了这些概念的两个具体应用，它们促成了本方法的开发且本方法非常适用于它们。