量子态层析的结构化因子分解方法

由于量子态层析（QST）的复杂度随系统大小呈指数增长，利用先验信息（如低秩性、张量网络结构和神经网络表示）对于在样本复杂度和参数复杂度方面实现可扩展的QST至关重要。在本文中，我们引入了一个统一框架，称为结构化因子分解，它建立在BurerMonteiro型因子分解的基础上，将密度矩阵参数化为$FF^\dagger$，其中因子$F$被约束属于一个结构化模型类。这种因子分解通过构造保证了物理有效性，同时允许通过选择因子空间直接纳入广泛的结构先验，范围从通用的Cholesky分解到低秩矩阵、矩阵乘积算子，以及基于多层感知器和Transformer架构的神经密度算子。基于这一结构化因子分解框架，我们将QST表述为在因子空间上根据测量数据进行的优化问题。我们首先对一类广泛的结构化量子态的最小二乘估计的样本复杂度进行了统一的统计分析。然后，我们提出了一种投影梯度下降方法，该方法直接在因子空间上操作，并适应广泛的结构参数化和重建目标。为了进一步利用最大似然估计公式的几何结构和因子上的约束，我们推导了一种幂方法，产生了一种无步长的快速收敛算法，当因子无约束时，Covers方法作为特例被恢复。