具有次二次调色板大小的流式边染色

在本文中，我们研究在（单遍）W-streaming模型中计算边染色的问题。在该设定下，一个$n$节点图的边以任意顺序到达一个具有相对较小空间的机器，目标是设计一种算法，以流的形式输出使用尽可能少颜色的边的正常染色。Behnezhad等人[Behnezhad et al., 2019]设计了该问题的第一个非平凡算法，在$\tilde{O}(n)$空间内以高概率计算正常$O(\Delta^2)$染色（此处$\Delta$为图的最大度）。后续论文改进了这一结果，其中最新者[Ansari et al., 2022]表明可以在$O(ns)$空间内确定性地计算$O(\Delta^2/s)$染色。然而，这些改进均未在保持$\tilde{O}(n)$相同空间界限的同时将颜色数减少到$O(\Delta^{2-\epsilon})$。特别是，关于是否可能以约$O(n)$空间计算$O(\Delta)$染色的问题没有任何进展，该问题在[Behnezhad et al., 2019]中被指出是一个主要开放问题。在本文中，我们绕过二次界限，提出了一种使用$\tilde{O}(\Delta^{1.5})$种颜色的新型随机化$\tilde{O}(n)$空间算法。