具有向量损失的随机_bandit：最小化相对损失的 $\ell^\infty$ 范数

多臂 bandit 广泛应用于推荐系统等场景，其目标是最大化点击率。然而，还需考虑更多因素，例如用户粘性、用户增长率、用户体验评估等。本文将此情形建模为具有多重损失的 $K$ 臂 bandit 问题。我们定义臂的相对损失向量，其中第 $i$ 个分量比较该臂与最优臂在第 $i$ 个损失上的表现。我们研究两个目标：（a）以给定置信水平找到相对损失 $\ell^\infty$ 范数最小的臂（即固定置信度最优臂辨识）；（b）最小化累积相对损失的 $\ell^\infty$ 范数（即遗憾最小化）。对于目标（a），我们推导了问题相关的样本复杂度下界，并讨论如何实现匹配算法。对于目标（b），我们给出了 $\Omega(T^{2/3})$ 的遗憾下界并提供了匹配算法。