由哈密顿演化生成态$k$-设计

我们研究了在固定哈密顿量下时间演化生成态$k$-设计的问题。具体来说，我们考虑系综$\mathcal{E}=\left\{e^{-iHt}|\psi_0\rangle | \ t\sim \mathrm{Unif}[0,T],\, |\psi_0\rangle\sim \mathcal{E}'\right\}$，其中初始态从系综$\mathcal{E}'$中采样。对于从高斯酉系综中抽取的哈密顿量，我们推导了在大演化时间极限下演化系综$\mathcal{E}$的框架势与初始系综$\mathcal{E}'$的框架势之间的简单关系。该关系表明，只要$\mathcal{E}'$构成一个态1-设计，那么在热力学极限下$\mathcal{E}$就构成一个精确的态$k$-设计。值得注意的是，我们进一步在解析和数值上表明，在适当选择的泡利基下，从乘积态出发，一个简单的不可积混合场伊辛哈密顿量的时间演化可以高精度地生成近似态$k$-设计。我们还分析了有限$T$修正，发现其标度为$O(1/T)$。为了减少演化时间，我们提出了一种$M$步淬火协议，将该修正抑制到$O(1/T^M)$，这也得到了数值验证。然后我们将分析扩展到酉系综，推导了酉框架势的类似递推关系。我们的结果以统一的方式阐明了近期通过顺序量子淬火生成酉$k$-设计的提议背后的机制。