分裂四元数结构与巴特曼双振子的正则量子化

巴特曼双振子将一个阻尼谐振子与一个独立的反阻尼伴随坐标嵌入到一个保守的双重系统中。我们发展了一种分裂四元数表述，该表述从经典方程到普通的复正则量子化始终保持一致。双重动力学被写为一种双侧超复数演化，其守恒的不定二次型即为分裂范数，而生成元平方的符号统一了欠阻尼、过阻尼和临界三种情形。巴特曼拉格朗日量作为分裂复数配置子代数上的实标量作用量被恢复。量子化后，算子值分裂四元数属于复化代数 $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb H_s\simeq M_2(\mathbb C)$。非对易的力学分量需要对称化的量子分裂范数，该范数精确地再现了对称有序的正则哈密顿量。零幂等元解析了双重相空间的交叉正则结构。特别地，阻尼给出 $[m\dot{\widehat y},m\dot{\widehat x}]=\mathrm{i}\hbar m\gamma$ 以及一个 Robertson--Schrödinger 不确定关系。极限 $\gamma\to0$ 保留了双重的正/负几何结构；只有在选择正简正模式，或在量子化之前解除双重化之后，才能恢复普通的单振子海森堡关系。标量分裂作用量给出了精确的二次传播子和高斯演化。最后，对辅助坐标的形式迹与高温 Caldeira--Leggett 动力学进行了比较，阐明双重模型是一个相干的零噪声嵌入，而非微观热库理论。