立方体上的稀疏近似

本文分析了 NP 难最小化问题 $\min \{\|b - Ax\|_2: \ x \in [0,1]^n, | \text{supp}(x) | \leq \sigma\}$，其中 $\text{supp}(x) = \{i \in [n]: x_i \neq 0\}$ 且 $\sigma$ 为正整数。研究对象是一种自然的松弛：将 $| \text{supp}(x) | \leq \sigma$ 替换为 $\sum_i x_i \leq \sigma$。我们的分析包含关于松弛何时精确的概率视角。我们也从确定性视角考察该问题，并给出在原问题与其松弛的最优解在 $A$ 下的像之间距离的上界。这导出了一种针对一般矩阵 $A \in \mathbb{Z}^{m \times n}$ 的算法，并在 $m$ 与 $\|A\|_{\infty}$ 固定时达到多项式运行时间。