实严格阶性质层级的一些应用

我们将非整数 $r$ 值的性质 $\mathrm{NSOP}_{r}$ 应用于整数 $n$ 值原始层级 $\mathrm{NSOP}_{n}$ 的问题。我们首先证明，先前针对实数 $r \geq 3$ 定义的性质 $\mathrm{NSOP}_{r}$ 对于实数 $r \geq 2$ 也是良定义的，表明即使当 $2 < r < 3$ 时，在我们对 $\mathrm{NSOP}_{r}$ 的原始定义下也有 $\mathrm{NSOP}_{2} \subseteq \mathrm{NSOP}_{r}$。作为推论，所有非整数 $r$ 的良定义性质 $\mathrm{NSOP}_{r}$ 的新颖性将否定性地解决 $\mathrm{NSOP}_{2}$ 是否等于 $\mathrm{NSOP}_{3}$ 的问题。然后，我们证明了两种可能性之间的近似替代：(1) 在将 Shelah 原始的整数 $n \geq 3$ 的 $\mathrm{NSOP}_{n}$ 层级扩展到实数 $r > 2$ 的 $\mathrm{NSOP}_{r}$ 层级时，我们确实引入了新的分类理论性质，以及 (2) 对于整数 $n \geq 3$，$\mathrm{NSOP}_{n+1} \cap \mathrm{NTP}_{2} = \mathrm{NSOP}_{n} \cap \mathrm{NTP}_{2}$，这将解决分类理论中的一个核心开放问题。更准确地说，我们给出了一种严格意义，在此意义下 (1) 可能在特别一般的基础上失效，然后证明如果 (1) 因这些一般原因失效，(2) 必须成立。最后，我们应用实数 $r$ 值性质 $\mathrm{NSOP}_{r}$ 理论中的消圈技术，在 $\mathrm{NSOP}_{2}$ 是否等于 $\mathrm{NSOP}_{3}$ 的问题上取得进展。我们 (a) 证明如果 $\mathcal{H}$ 是由有限多个禁止弱嵌入子结构定义的结构遗传类，如果每个模型年龄为 $\mathcal{H}$ 的理论都有 $\mathrm{SOP}_{2}$，那么每个模型年龄为 $\mathcal{H}$ 的理论都有 $\mathrm{SOP}_{3}$，并且 (b) 注意到在此处我们不能用 $\mathrm{TP}$ 替代 $\mathrm{SOP}_{2}$。