利用过完备字典求解线性不适定问题

本文探讨了将过完备字典应用于一般线性不适定逆问题的求解。构建此类问题的自适应最优解通常依赖于奇异值分解或通过正交基表示解。这两种方法的不足之处在于，在许多情况下，线性算子的特征基或标准正交基都不构成未知函数稀疏表示的合适函数集合。在回归问题的背景下，利用过完备字典恢复未知函数已付出了巨大努力。最流行的方法之一 Lasso 基于最小化经验似然，并要求对字典施加严格的假设，即所谓的相容性条件。虽然这些条件可能对原始字典函数成立，但由于线性算子施加的压缩，它们通常对其像不成立。下文我们通过一种新颖的方法规避了这一困难，该方法基于对每个字典函数求逆，并将所得展开式与真实函数匹配，从而避免了对字典不切实际的假设，并在预测设置中使用 Lasso。我们考察了白噪声和观测模型公式，并讨论了如何用字典函数的近似逆像替代精确逆像。此外，我们展示了如何将所提出的方法扩展到连续混合中混合密度估计的问题。对于上述所有情况，我们在有限样本设置下提供了风险的 Oracle 不等式。模拟研究证实了基于 Lasso 技术的良好计算特性。