后继基数上的ultrafilter与Tukey序

我们研究了关于正 uncountable 基数的ultrafilter，主要聚焦于 $\omega_1$，并特别关注其与有向集上的Tukey序之间的关系。结果包括：从ZFC独立的断言，即每个均匀的$\omega_1$上的ultrafilter都与 $[2^{\aleph_1}]^{<\omega}$ Tukey 等价；以及对于每个不可数公理基数的$\kappa$，我们构造了一个均匀的ultrafilter，扩展了club filter且与 $[2^\kappa]^{<\omega}$ Tukey 等价。我们还分析了在PFA下Todorcevic的ultrafilter $\mathcal{U}(T)$，证明它与 $[2^{\aleph_1}]^{<\omega}$ Tukey 等价，并且在成为$\omega_1$上的均匀ultrafilter方面在Rudin-Keisler序中是最小的。我们证明，与PFA不同，$\text{MA}_{\omega_1}$ 对于存在一个结构Aronszajn树 $T$ 而言是与$\mathcal{U}(T)$ 扩展club filter相容的。关于uniform ultrafilter和不可数有向系统上的Tukey序，还获得了许多其他结果。