超临界超过程的强极限类之性质

设 $X=\{X_t, t\ge 0; \mathbb{P}_{\mu}\}$ 是局部紧可分度量空间 $E$ 中的超临界超过程。令 $\phi_0$ 为对应于 $X$ 的均值半群生成元的首特征值 $\lambda_0$ 的正特征函数。则 $M_t:=e^{-\lambda_0t}\langle\phi_0, X_t\rangle$ 是一个正鞅。令 $M_\infty$ 为 $M_t$ 的极限。已知 $M_\infty$ 非退化当且仅当满足 $L\log L$ 条件。当 $L\log L$ 条件可能不满足时，我们最近在 (arXiv:1708.04422) 中证明了存在 $[0, \infty)$ 上的非负函数 $\gamma_t$ 与非退化随机变量 $W$，使得对 $E$ 上任意有限非零 Borel 测度 $\mu$，$$\lim_{t\to\infty}\gamma_t\langle \phi_0,X_t\rangle =W,\qquad\mbox{a.s.-}\mathbb{P}_{\mu}.$$ 本文主要研究 $W$ 的性质。我们证明 $W$ 在 $(0,\infty)$ 上具有严格正密度。我们还研究了 $W$ 的小值概率与尾概率问题。