Szegedy量子行走中的单链路移除扰动：从图完备性测试到完整性监测

我们对具有标记节点的完全图上的Szegedy量子行走搜索算法进行了严格的微扰分析，此时图中存在特定异常。这一研究的动机源于利用量子辅助程序监测高密度可信通信网络完整性的问题。这些网络的拓扑被建模为完全图，而所关注的异常是单个通信链路的消失，这代表了最难检测的最小且谱上最困难的结构缺陷。基于图完备性测试算法框架，我们量化了移除单个未标记-未标记边如何通过Szegedy量子行走的相关谱量传播。设$n$为图的节点总数，$m$为标记节点数，我们证明了转移矩阵的扰动具有谱范数$\Theta(1/n)$，并且对于每个$n$和每个标记节点数$m$，间隙特征值经历严格的负一阶位移，从而为我们完备性测试算法工作中的猜想提供了形式化证明；在与搜索算法相关的$m = \Theta(n)$区域中，该位移的大小为$\Theta(1/n^2)$。在同一区域中，相应的本征相位位移满足$\Delta\theta_\star = \Theta(1/n^2)$。我们确定在$m = \Theta(n)$时，有效子空间在该扰动下的旋转角为$O(1/n)$。最后，我们在相同的标记节点区域中，将成功概率的变化限制在$O(1/\sqrt{n})$，并表明该界限主要由有效子空间的几何失准而非本征相位的谱位移主导。这些结果为基于量子行走的拓扑完整性监测在最小结构扰动下提供了理论基础和基本缩放极限。