大规模平衡独立集的在线硬性下界

我们研究在稠密随机二分图中寻找大型 $\gamma$-平衡独立集的算法问题；当独立集的一个 $\gamma$ 比例的顶点位于二分图的一侧时，称为 $\gamma$-平衡。稀疏场景下，Perkins 和 Wang 在低度多项式（LDP）框架下建立了紧密界限，展示了通过稳定算法专用的重叠间隙属性（OGP）框架，实现 $1/(1-\gamma)$ 的统计-计算鸿沟。然而，这些技术似乎难以推广到稠密场景。对于稠密随机图上的最大独立集问题，已知最好的算法是一种固有的不稳定的在线贪心算法，而 LDP 算法在贪心成功的“容易”场景中甚至可能失败。我们表明，稠密随机二分图中最大的 $\gamma$-平衡独立集大小为 whp 时 $\alpha := \frac{\log_b n}{\gamma(1-\gamma)}$，其中 $n$ 为二分图的每一侧大小，$p$ 为边概率，$b = 1/(1-p)$。我们设计一种在线算法，能够以任意 $\epsilon > 0$ 的情况下以 $(1-\epsilon)(1-\gamma)\alpha$ whp 实现。我们进一步给出尖锐下界，表明任何在线算法都不可能以可忽略的概率实现 $(1+\epsilon)(1-\gamma)\alpha$。我们的结果表明，相同的 $1/(1-\gamma)$ 因子鸿沟也可能存在于稠密场景中，支持其普遍性假设。虽然 $G(n,p)$ 上的经典贪心算法简单直接，但我们的算法更为复杂：它分为两个阶段，包含停止时间和适当的截断，以确保即使在信息有限的情况下，也能满足 $\gamma$-平衡性——这一全局约束。我们的下界利用 OGP 框架；我们基于最近为在线模型所述的该框架的细化版本，并将其扩展到二分图设置。