凸体常宽度与指数照明数

我们证明在 $\mathbb{E}^n$ 中存在常宽度凸体，其照明数至少为 $(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了 G. Kalai 的一个问题。此外，我们证明了在 $\mathbb{E}^n$ 中存在直径为 $1$ 的有限点集，其不能被 $(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$ 个直径为 $1$ 的球覆盖，改进了 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的一个结果。