光滑、全局 Polyak-Łojasiewicz 函数是非线性最小二乘问题

Polyak-Łojasiewicz (PŁ) 条件常用于非凸优化，因为它允许超越强凸性的算法快速收敛。定义在黎曼流形 M 上的函数 f 若满足全局 PŁ 条件，则 ||∇f(x)||² ≥ 2μ(f(x) - f*) 对所有 x 成立，其中 f* = inf f，μ > 0。该点阶梯不等式对 f 及其最小化集 S 有何约束？我们证明：若 f 也是光滑的 (C^∞) 且 M 是可收缩的（例如 M = ℝⁿ），则 PŁ 条件赋予坚实的全局结构：此类函数必为 f(x) = f* + ||φ(x)||²（非线性平方和），其中 φ: M → ℝᵏ 为亚测地射映，k 为 S 在 M 中的余维数。证明依赖于显示 f 的负梯度流终点映射在 S 上是平凡光滑纤维束。这种刚性导致一种惊人二分法：要么 S 与欧几里得空间同胚，则 f 可通过光滑坐标变换转化为凸二次型；要么 S 必须呈现真正异构的几何；例如，可同胚于 Whitehead 流形。进一步结果表明，可存在一种完整黎曼度量，使得 f 仍满足 PŁ 条件且变为测地凸。