SYK模型基态能量的尖锐界

我们研究了在 $n$ 个Majorana模式上具有 $k$ 体相互作用的Sachdev-Ye-Kitaev (SYK)哈密顿量 $H_{\operatorname{SYK}}$，并证明了对于超常数 $k\leq o(\sqrt{n})$，$\mathbb{E}\|H_{\operatorname{SYK}}\|_{\operatorname{op}} = (1 - o(1))\cdot\sqrt{2n}/k$，其中期望是对哈密顿量中的无序变量取的。这证实了Garcia-Garcia、Jia和Verbaarschot'18的预测，并回答了Feng、Tian和Wei'19提出的问题。我们的结果扩展到稀疏SYK哈密顿量。作为推论，我们得到Basso、Chen和Dalzell'24的耗散量子算法对于所有 $k < \sqrt{n}/4$，可证明地计算SYK哈密顿量的基态能量，误差在 $O(1)$ 乘法因子内。我们的关键技术思想是识别一个显式的确定性线性算子 $\mathsf{x}$，使得 $\mathsf{x}^{2\ell}$ 的固定二次型对于每个 $n$ 和 $k$ 恰好等于SYK哈密顿量的期望迹矩。这个线性算子可以自然地看作是超图超边空间上的一个“扭曲”玻色子模型。因此，问题归结为识别 $\mathsf{x}$ 的谱边缘，我们证明它由来自Johnson方案的自然的 ${n \choose k}$ 维矩阵的谱所主导，并且可以使用已知结果直接计算。为了证明我们的界是尖锐的，我们构造了一个在 $\mathsf{x}$ 上具有大二次型的见证态，并将其转化为 $H_{\operatorname{SYK}}$ 上最大二次型下界的证书。