双线性分解与奇异积分算子的交换子

设 $b$ 为一个 $BMO$-函数。众所周知，Calderón-Zygmund 算子 $T$ 的线性交换子 $[b, T]$ 通常不会将 $H^1(\mathbb R^n)$ 连续映射到 $L^1(\mathbb R^n)$。然而，Pérez 证明，若将 $H^1(\mathbb R^n)$ 替换为一个合适的原子子空间 $\mathcal H^1_b(\mathbb R^n)$，则该交换子从 $\mathcal H^1_b(\mathbb R^n)$ 到 $L^1(\mathbb R^n)$ 是连续的。在本文中，我们找到了最大的子空间 $H^1_b(\mathbb R^n)$，使得所有 Calderón-Zygmund 算子的交换子都从 $H^1_b(\mathbb R^n)$ 连续映射到 $L^1(\mathbb R^n)$。同时给出了 $H^1_b(\mathbb R^n)$ 的一些等价刻画。我们还研究了一类次线性算子 $\mathcal K$ 中的 $T$ 的交换子 $[b,T]$，该类算子几乎包含了调和分析中所有重要的算子。当 $T$ 为线性算子时，我们证明存在一个双线性算子 $\mathfrak R= \mathfrak R_T$，将 $H^1(\mathbb R^n)\times BMO(\mathbb R^n)$ 连续映射到 $L^1(\mathbb R^n)$，使得对所有 $(f,b)\in H^1(\mathbb R^n)\times BMO(\mathbb R^n)$，有 \label{abstract 1} [b,T](f)= \mathfrak R(f,b) + T(\mathfrak S(f,b))，其中 $\mathfrak S$ 是一个从 $H^1(\mathbb R^n)\times BMO(\mathbb R^n)$ 到 $L^1(\mathbb R^n)$ 的有界双线性算子，且不依赖于 $T$。在 $T$ 为满足 $T1=T^*1=0$ 的 Calderón-Zygmund 算子且 $b$ 属于 $BMO^{\rm log}(\mathbb R^n)$——由 Nakai 和 Yabuta 引入的用于刻画 $\BMO(\bR^n)$ 乘子的广义 $\BMO$ 型空间——的特殊情形下，我们证明交换子 $[b,T]$ 将 $H^1_b(\mathbb R^n)$ 连续映射到 $h^1(\mathbb R^n)$。此外，若 $b$ 属于 $BMO(\mathbb R^n)$ 且 $T^*1 = T^*b = 0$，则交换子 $[b, T]$ 将 $H^1_b (\mathbb R^n)$ 连续映射到 $H^1(\mathbb R^n)$。当 $T$ 为次线性算子时，我们证明存在一个有界次双线性算子 $\mathfrak R= \mathfrak R_T: H^1(\mathbb R^n)\times BMO(\mathbb R^n)\to L^1(\mathbb R^n)$，使得对所有 $(f,b)\in H^1(\mathbb R^n)\times BMO(\mathbb R^n)$，有 \label{abstract 2} |T(\mathfrak S(f,b))|- \mathfrak R(f,b)\leq |[b,T](f)|\leq \mathfrak R(f,b) + |T(\mathfrak S(f,b))|。双线性分解 (\ref{abstract 1}) 和次双线性分解 (\ref{abstract 2}) 使我们能够对所有已知的弱型和强型 $L^1$-估计给出一个全面的概述。