面向带界限偏好的稳健流行匹配与双侧平局匹配

我们给出一个二分图 $G = \left( A \cup B, E \right)$。在单侧模型中，每个 $a \in A$（通常称为 agent）严格排序其邻居 $z \in N_{a}$，且 $b \in B$ 对其邻居 $y \in N_{b}$ 没有任何偏好顺序，且 $B$ 中的顶点中止投票以匹配。对于双侧模型带单侧平局的情况，每个 $a \in A$ 严格排序其邻居 $z \in N_{a}$，且每个 $b \in B$ 将其所有邻居放入单个大型平局中，即 $b \in B$ 偏好其所有邻居 $y \in N_{b}$ 相等。在这种双侧模型中，当两个匹配在多数投票中竞争时，$b \in B$ 在两个匹配都饱和 $b$ 或两个匹配都使 $b$ 未饱和时中止投票；否则 $b$ 偏好饱和 $b$ 的匹配。我们分析了在仅一个 agent 改变其偏好顺序的情况下，是否存在稳健流行匹配的情形，并提出了一种多项式时间算法来决定是否存在稳健流行匹配。我们给出了双侧模型带单侧平局中流行匹配的简单描述。我们证明，在双侧模型带单侧平局中，如果输入实例仅因单个 agent 的偏好顺序而异，则存在多项式时间算法来决定是否存在稳健流行匹配。我们能够解决二分图 $G = (A \cup B, E)$ 中的稳定匹配问题，其中 \textit{双方} 都具有弱偏好（允许平局），且每个平局的长度至多为 $k$。