μ 子反常磁矩的尺度相对论修正

μ 子的反常磁矩是物理学中测量最精确的量之一。其实验值与在标准模型框架下理论计算值呈现 $4.2 \, \sigma$ 偏差 $\delta a_\mu=(251 \pm 59) \times 10^{-11}$，而电子则二者相符。μ 子理论计算涉及一个质量依赖贡献，来自电子-正电子对的双圈真空极化插入，并依赖于电子与 μ 子质量比 $x=m_e/m_\mu$。在标准量子力学中，质量比与逆康普顿长度比相同。在特殊尺度相对论框架中则不再如此，其中普朗克长度尺度在伸缩变换下不变。利用重整化群方法，我们区分了依赖于质量的对数 $\ln x$ 贡献与线性 $x$ 贡献，后者我们假设实际依赖于逆康普顿长度。通过以普朗克质量 $m_\mathbb{P}$ 定义 μ 子常数 $\mathbb{C}_\mu=\ln(m_\mathbb{P}/m_\mu)$，所得尺度相对论修正为 $\delta a_\mu= -\alpha^2 \, (x \:\ln^3 x)/(8 \; \mathbb{C}_\mu^2)$，其中 $\alpha$ 为精细结构常数。其数值 $(230 \pm 16) \times 10^{-11}$ 与观测的理论-实验差值极为吻合。