可扩展的量子机器学习：可训练性、表达性与效率

设计用于机器学习的可扩展参数化量子电路面临三个基本障碍：阻碍基于梯度训练的贫瘠高原，缺乏关于学习函数类在经典上困难的可证明保证，以及每个梯度步骤中令人望而却步的电路评估次数。我们提出了酉砖墙：一种面向最近邻硬件的 $k$ 粒子费米子架构，结合了可重构分束器门、交错的单量子比特相位门和非高斯魔法态编码，其中粒子数 $k$ 是一个可调旋钮，用于权衡经典模拟难度与训练成本。可训练。砖墙具有动态李代数 $\mathfrak{u}(n)$，并通过 Givens 旋转直接参数化 $U(n)$，从而实现 Haar 初始化。双体关联子读出实现了梯度方差 $\Theta(k^2/n^5)$。具表达性。经典难度由粒子数 $k$ 控制：用于采样和双体期望值的已知最佳经典算法运行时间为 $2^{\Theta(k)}\mathrm{poly}(n)$，最坏情况下的 #P-hardness 在 $k = n^{\epsilon}$ 时成立，而平均情况下的难度在 $k = \Theta(n)$ 时适用。高效。多层并行参数移位规则在每个梯度步骤中通过 $k(8n+4)$ 次电路评估计算出所有 $O(n^2)$ 个梯度，相比标准参数移位规则所需的 $3n^2$ 次评估减少了 $3n/(8k)$ 的因子。酉蝴蝶变体针对全连接硬件，深度为 $2\log n$，参数量为 $n\log n$。它在每个梯度步骤 $8k\log n$ 次电路评估下实现了类似的难度保证，减少因子同为 $3n/(8k)$。其可训练性在两个层面上得到确立：无指数贫瘠高原是无条件成立的，而精确的 $\Theta(k^2/n^5)$ 速率则在双粒子近似 2-设计猜想下成立。