两级设计下函数估计中的采样深度权衡

许多现代统计应用涉及两级采样方案：首先从总体中抽样个体，再对每一个体抽样观测。这些方案通常旨在同时学习个体间共享的总体水平函数结构，以及个体特有的函数特征。一般经验认为，学习总体水平结构受益于抽取更多个体，而学习个体特有结构受益于对每一个体更深采样。这两个目标常竞争有限的采样资源，这就提出了如何在两级上最优采样的问题。我们在层次高斯过程模型框架下，针对未知总体水平结构考虑贝叶斯与频率派两种视角，建立了学习总体水平与个体特有结构的 $L_2$ 极小极大风险率，从而量化此类采样深度权衡。这些风险率为在固定采样预算下设计两级采样方案提供了一般性指导。有趣的是，它们表明个体特有学习有时通过抽取更多个体比加深个体内采样获益更多。我们证明，相应的极小极大率可通过简单的自适应估计量在实践中轻易达到，而无需假设两级采样下潜在变异性先验知识。我们通过模拟实验与两个真实数据集验证理论并展示实践中的采样权衡。尽管为分析可处理性我们在高斯过程模型背景下完成所有理论分析，这些结果更为广泛地提供了关于有效两级采样设计的见解。