贪婪最佳优先搜索与 A* 搜索中学习启发式函数的样本复杂度

贪婪最佳优先搜索（GBFS）与 A* 搜索（A*）是在大型图上进行路径搜索的流行算法。二者均使用所谓的启发式函数，用于估计某个顶点距离目标的远近。尽管启发式函数以往借助领域知识手工设计，但近期研究表明从数据中学习启发式函数在许多应用中是有效的。受这一新兴方法启发，我们研究了为 GBFS 与 A* 学习启发式函数的样本复杂度。我们基于近期提出的所谓“数据驱动算法设计”框架，并评估衡量参数化算法性能的某类效用函数的伪维数（pseudo-dimension）。假设固定大小为 $n$ 的顶点集，我们分别给出了 GBFS 与 A*（由启发式函数值参数化）的伪维数上界 $\mathrm{O}(n\lg n)$ 与 $\mathrm{O}(n^2\lg n)$。若每个顶点的最大度不超过 $d$，则 A* 的上界可改进为 $\mathrm{O}(n^2\lg d)$；若边权为以 $\mathrm{poly}(n)$ 为界的整数，则可改进为 $\mathrm{O}(n \lg n)$。我们还给出了 GBFS 与 A* 的 $\Omega(n)$ 下界，这意味着我们在整数权值条件下对 GBFS 与 A* 的界至多相差 $\lg n$ 因子是紧的。最后，我们讨论了一种以次优性度量 A* 性能的情形，并表明有时可通过将依赖于参数的最坏情况界与样本复杂度界相结合来获得更好的保证。