障碍 scattering 中的截止 resolvent 可任意快速增长

我们考虑时间h谐波声学散射问题，由 compact sound-soft obstacle $\Gamma\subset \mathbb{R}^n$ ($n\geq 2$) 引起，其 connected complement $\Omega := \mathbb{R}^n\setminus \Gamma$。该散射问题由 inhomogeneous Helmholtz 方程 $\Delta u + k^2 u = -f$ in $\Omega$，边界条件 $u=0$ on $\partial \Omega = \partial \Gamma$，以及 standard Sommerfeld radiation condition 描述。众所周知，如果边界 $\partial \Omega$ 为光滑的，则 cut-off resolvent 范数（将 compactly supported inhomogeneous 项 $f$ 映射到限制在某个球内的解 $u$）最多以指数级增长。本文我们表明，如果不对 $\Gamma$ 施加光滑性约束，则增长可任意快速。准确地说，给定某个适度递增的无界序列 $0<k_1<k_2<\ldots$ 和某个任意快速递增的序列 $0<a_1<a_2<\ldots$，我们构造一个 compact $\Gamma$，使得对于每个 $j\in \mathbb{N}$，cut-off resolvent 在 $k=k_j$ 处的范数大于 $a_j$。